複素 フーリエ 級数。 複素フーリエ級数について

フーリエ級数展開

複素 フーリエ 級数

複素関数で展開 ここでは複素フーリエ級数展開に至るまでの考え方をまとめておく。 説明のため、周期 としているが、一般の周期 でも 同様である。 周期 の結果は最後にまとめた。 また、実用的な複素フーリエ係数の計算は「第2項」から始まる。 フーリエ級数のコンセプトから 冒頭でも説明したように 周期関数 を同じ周期を持った関数の集まりで展開 がコンセプトである。 たとえば 周期を持ったものとして高校生であれば などが真っ先に思いつく。 しかし、大学1年を迎えたすべてのひとは「 もあります!」と複素平面に範囲を広げて答えるべきである。 このことは、指数関数が有名なオイラーの式 によって展開されることを思い出せばわかるだろう。 まず について。 の形が出てきたら以下の複素平面をイメージすると良い。 ぐるっと回って( )もとの位置に戻るだろう。 したがって、 は の周期性をもつ。 同様に も の周期性をもつ。 また、 なども の周期性をもつ。 このことから、 の周期性をもつ指数関数の形は、 と表すことができる。 この指数関数の組を用いて、周期 をもつ を展開することができそうである。 とりあえず展開係数を として展開しておこう。 残る問題は、 を「 簡単に求められるかどうか?」である。 なぜ関数の直交性を大事にするか で展開したとして、展開係数(複素フーリエ係数)が 簡単に求めることができないなら使い物にならない。 展開係数を求めるために重要なことは直交性である。 その理由は平面ベクトルを考えるとわかる。 まず平面をつくる2つの長さ1のベクトルを考える。 このとき、 「ある平面ベクトルが2つのベクトルの方向にどれだけの重みで進んでいるか」 を調べたいとする。 以下の例を見てみよう。 どちらが簡単に重み(展開係数)を求めやすいだろうか。 平面ベクトルをつくる2つの平面ベクトル(基底)が直交しているほうが 求めやすい気がする。 すなわち展開係数を簡単に求められることが直感的にわかるだろう。 その理由は 基底ベクトルの「内積が0」になり、互いに直交しているからである。 今考えている、基底 についても同様に と などが直交していたら展開係数が簡単に求めることができると思うだろう。 以下では複素関数 と の 内積を計算する。 計算方法は「三角関数の直交性」と同じことをする。 ただし、内積は「複素関数の内積」であることに注意する(一方の関数は 複素共役 をとること)。 のとき: のとき: 指数関数になった分、積分の計算が実行しやすいだろう。 得られた結果はまさに「三角関数の直交性」と同様である。 重要な結果なのでまとめておく。 複素フーリエ係数の計算 まず展開は、 であった。 を使ってまとめておく。 この複素フーリエ係数 を求めよう。 複素フーリエ係数の導出 係数の求め方の方針: の直交性を利用する。 STEP 1. STEP 2. で積分する(直交性の利用)。 右辺のたくさんの項は直交性により0になる。 をかけて積分した後、唯一残るのは の項である。 STEP 3. が求められる。 上の式で、 とした。 これで複素フーリエ係数 を求めることができた。 周期2Lの場合 周期 の の展開については、 以下のような周期 の複素関数を用意すれば良い。 以下に結果をまとめる。 直交性: 複素フーリエ係数: 複素フーリエ級数の嬉しいところ 指数関数は積分や微分が簡単にできる。 したがって複素フーリエ係数は で表したときよりも 求めやすいはずである。 さらに、複素関数で展開することにより、 展開される周期関数が複素関数でも扱えるようになった。 より一般化されたことにより応用範囲も広いだろう。 まとめ 複素フーリエ級数展開について考え方を説明してきた。 フーリエ級数のコンセプトさえ理解していればどうということはなかったはずだ。 実用面では、複素フーリエ係数の求め方もマスターしておきたい。 といっても「直交性」を用いればいつでも導くことができる。 実際の計算は指数関数の積分になった分、 よりは簡単にできるだろう。 さて、もし が周期関数でなくても、これに似た展開ができるだろうか…(次項へ続く)。

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フーリエ変換

複素 フーリエ 級数

: : :• 複素指数関数型のフーリエ級数 やる夫 前回,周期的な信号をたくさんの三角関数の足し合わせで表す方法を聞いたんだお.例えば 10 ms 周期の信号だったら,0 Hz,100 Hz,200 Hz, 300 Hz …のサイン波を適当な割合で重ね合わせれば合成できたんだお. やらない夫 おお,わかってるじゃないか. やる夫 よくわからないのは,cos と sin の両方が必要なことの意味だお.たくさんの音叉を鳴らして元の音を合成しようとしたら, 100 Hz の周波数成分に関しては, 100 Hz の cos の音叉と,100 Hz の sin の音叉が両方必要ってことかお? cos の音叉とか sin の音叉なんて聞いたことないお. やらない夫 そのたくさんの音叉の例が現実的じゃないのは前回話した通りなんだが,まあ,いいか.じゃあ聞くが,sin と cos の違いは何だ? 25 ms,0. 833 ms,0. 625 ms …ずつずらすことになるな. やる夫 現実的じゃないと言われた意味がよくわかったお. やらない夫 現実的でないのは確かだが,思考実験としては悪くない.今,各周波数について 2 個ずつの音叉を考えただろう.これを 1 個ずつにまとめられるのはわかるか? やる夫 何を言ってるかわからんお. やらない夫 フーリエ級数の中からある 1 個の周波数の成分だけ抜き出すと やらない夫 cos の方の音叉は の強さで, sin の方は の強さで叩く必要があったわけだが,それを 1 個の音叉で代替できる.ただし,強さは で,かつタイミングは位相が だけずれるように叩く必要があるわけだ. やる夫 人間業じゃないのには変わりないお. やらない夫 そうだな.でもこれで重要なことが理解できる.フーリエ級数展開ってのは,与えられた信号を複数のサイン波に分解することだった.そのとき,各周波数のサイン波は,それぞれ別個の振幅と初期位相を持っている.sin と cos の和として書くのは,その 1 つの表現方法に過ぎない. やる夫 ということは,もっと直接的に振幅と初期位相をそれぞれ , として, 2. 7 みたいに表してもいいってことかお? やらない夫 そういうことだ. やる夫 じゃあ何でそう表さないんだお? こっちの方が直観的にわかりやすい気がするお. やらない夫 各周波数成分が振幅と位相を持つ,という意味ではこの方がわかりやすいのは確かかもしれないな.でも,その sin 関数の中に が入ったままの表現だと,数学的にちょっと扱いにくいんだな.だからあまり使われない. やる夫 ふーん,残念だお. やらない夫 ただ,数学的に扱いにくいっていう点では,sin と cos の両方が必要なのも十分に扱いにくいんだ.実は,この点を解決するきれいな表現方法がある.その方法だと「各周波数成分の振幅と位相」も明示的に表現される. やる夫 なんだお.圧倒的じゃないかお. やらない夫 というわけで今日はその話だ. やらない夫 鍵になるのは複素指数関数だ.虚数単位を で表すことにして,オイラーの公式と呼ばれるこんな式,これは知ってるだろ. 2. 16 2. 17 となる. といちいち書くと大変なので, と書いていることに注意してくれ. やる夫 ええと,同じ複素指数関数の項をまとめたわけだお. やらない夫 そうだな.この式をよく見てくれ.総和は が 1 から無限大まで取っているわけだ.総和の中の第 1 項は が から無限大まで足し合わされている.第 2 項は が から無限大まで足し合わされているわけだが,これは を からマイナス無限大まで足し合わせていると思ってもよいだろう. やる夫 ちょっと気持ち悪いけど,言ってることはわかるお. やらない夫 最初の定数項の も, の の項だと考えることができる.結局,全部ひっくるめて のような形で表してよいだろう.これが複素指数関数型のフーリエ級数だ. がこの場合のフーリエ係数になる. やる夫 ああ,なんか妙にすっきりした式になったお. やらない夫 そうだな.複素指数関数で表したおかげだ. やる夫 あれ? 三角関数で表示したときは とか みたいに小文字で書いていたのに,複素指数関数型のときのフーリエ係数はどうして大文字で書くのかお? やらない夫 あー,そこは別に大文字で書かなくちゃいけないわけじゃない.むしろ世の中の多くの教科書だと,小文字で とかを使う方が普通だと思う. やる夫 じゃあ何でそう書かないのかお? やらない夫 今の時点では別にどう書いてもいいんだが,後から出てくる「フーリエ変換」とかと対比して考えようと思うと,大文字で書いておくのが便利なんだ.もうちょっと詳しくいうと,時間信号の方を小文字の ,周波数成分を表す方を同じ文字の大文字 で表しているところがミソだ. やる夫 ふーん,じゃあ時間信号が だったら,フーリエ係数は って書くってことかお? やらない夫 そういうことにしよう.「フーリエ変換」ではそういう風に書くルールにしている本が多い.フーリエ級数の場合はそういうルールじゃない本が多いんだが,我々は「フーリエ変換」流に統一して書くことにする. やらない夫 残るはフーリエ係数の計算だ.今までの流れで式変形していって と から計算してもいいんだが,前回と同じ考え方で導いておこうと思う.つまり,前回使った三角関数の直交性: 式 ・ の代わりに 2. 20 と書いてもいい. やる夫 三角関数のときは複素共役なんかとらなかったお. やらない夫 本当は複素共役を取るのが正しいんだ.複素数ベクトルの内積を計算するときも,片方は複素共役を取っただろ. やる夫 そ,…そうだったかお. やらない夫 ああ,もう一度教科書を見てみるといい.で,三角関数のときは,sin や cos は実数だったから,複素共役を取っても何も変わらないので省略しただけだ. やる夫 ふーん,で,式 は本当に成立するのかお. やらない夫 まあ実際に計算してみるといい. のときは,積分の中身が 1 になるから結果が になるのはすぐわかるだろう. のときも真面目に計算するだけだ.積分は実指数関数と全く同じように計算できるからな.そのとき だったことを忘れないように注意しとこう. と書くことにしよう. FS は Fourier Series フーリエ級数 の略のつもりだ.あまり標準的な書き方じゃないんだが,後でフーリエ変換と対比するときとかに使おうと思う. やる夫 前回の sin とか cos を足し合わせるのは何となく想像できたけど,式 の を足し合わせるってのがどうもイメージできないんだお. やらない夫 そもそも 自体がイメージできているかどうかだな.まず確認だが, が,角周波数 で時間 とともに振動していくのはイメージできるな? やる夫 できるお.高校では優等生だったって言ったはずだお! やらない夫 だって同じように角周波数 の振動だ.ただし sin とは違って関数値として複素数を取るわけだ.sin のときは時間 の軸と,関数値の軸をとって 2 次元のグラフを書いたと思うが,複素数値関数だと実軸と虚軸を考えなきゃいけないから,絵を描くなら 3 次元グラフのようになるな. やる夫 ええと,普通に sin 関数のグラフを書くときは,横軸に時間を取って,縦軸に関数値を取るわけだお.時間はそのままで,縦軸を実軸だとして… やらない夫 時間軸と実軸の両方に直交するように虚軸を取ればいい.あるいは,複素平面の実軸と虚軸の両方に直交するように時間軸を取ると考えてもいい.どっちでも同じことだ. やる夫 ああ,回りながら時間軸方向に進んでいくから螺旋になるわけだお. やらない夫 そうだな.「単位時間でこの螺旋が何周するか」が周波数だ.同じことだが「単位時間でこの螺旋の位相が何 rad 進むか」が角周波数 だ. が増えれば速く振動する螺旋になる.元の関数 を, の異なるたくさんの螺旋の足し合わせで表そうというのが,複素指数関数型のフーリエ級数だ. やる夫 なるほど,そういうイメージで式 を見ると,多少はわかったような気がするお.…ん? やらない夫 どうした? やる夫 sin や cos の足し合わせのときは, は正の整数だけを考えたんだお.でも複素指数関数を足し合わせるときは, は負の無限大から正の無限大まで考えることになったんだお. が負のときの角周波数 って一体何なんだお.周波数がマイナスなのかお? 「単位時間あたり 周する」とか意味わからんお! やらない夫 うん,いい指摘をするじゃないか.その点も基本に立ち返って考えるといい.角周波数がマイナスってことは,時間が進むと複素平面上ではどうなる? やる夫 ええと,偏角が減っていくわけだから,時計回りにまわるってことかお. やらない夫 そうだ.それをさっきと同じく時間軸・実軸・虚軸のグラフで考えるとどうなる? やる夫 時計回りにまわりながら進んでいくわけだから…,さっきと逆回りに回転する螺旋になるお! やらない夫 やけに説明的な台詞ありがとう. やる夫 どういたしましてだお. やらない夫 フーリエ級数展開の と の項の間の関係もこれと同じなんだ. 展開したい関数 が実数値を取るとしよう.するとそれぞれの周波数成分もやっぱり実関数になってくれないと困るわけだ.だから, と が足し合わされて,さっきと同様に虚数部分が打ち消されるようになっている.そう考えると と がどういう値じゃなくちゃならないかが見えてくるだろ.ちなみに も も一般に複素数だということに注意しとこう. やる夫 ええと, とかの絶対値は螺旋が回転するときの半径なわけだお.少なくとも回転する半径は一致してないと打ち消せないお.だから, は必要だお. やらない夫 そうだ.でもそれだけじゃダメだ.偏角についても条件がある. やる夫 の偏角って…どういう意味になるのかお? やらない夫 に を代入したときの値が だろ.つまり時刻 0 における螺旋の初期位置が だ. やる夫 ええと,同じ半径で,同じ角速度で,逆向きに回転する 2 つの螺旋があって,それらの虚数部分が常に打ち消し合うためには…,ああ,初期位置が共役の関係にあればいいんだお.だから, の偏角と の偏角は同じ大きさで符号が逆,つまり だお. やらない夫 そういうことだ.結局, が実数の場合は, の だけわかれば の方も定まってしまうんだな. やる夫 単に,虚数部分を打ち消すためのトリックとしてだけ存在するってことかお? やらない夫 まあ身も蓋もない言い方をするとそうなるかな.ただし が複素数値を取る場合はこの限りではないので注意だ. やる夫 ともかく,おかげでどうして「負の周波数」が出てきたのかは何となくわかった気がするお. やらない夫 三角関数型のフーリエ級数と対比してみるといいかもな.三角関数型の場合,ある周波数成分のサイン波の振幅と初期位相を表現するために cos と sin の足し合わせで表したわけだ.だから と の両方が常に組になる. やる夫 それに対して複素指数関数型の場合は,正と負の周波数の複素指数関数の足し合わせで表すことになる.今度は と が組になるわけだお. やらない夫 そう.しかも,「振幅」と「初期位相」がものすごくストレートに表示されているのがわかるだろう. やる夫 あ,そういえばそうだお. の絶対値が振幅そのもので,偏角が初期位相そのものだお. やらない夫 これが複素指数関数型のフーリエ級数の嬉しいところだ.単に式 のようにすっきりと書き表せるだけじゃなくて,そこに出てくるフーリエ係数 が「各周波数成分の振幅と位相」を明示的に表している. やる夫 なるほど,そういえば今回の話はそういう流れで始まったんだったお. やらない夫 図で表すとこんな感じかな.まずこれが三角関数型のフーリエ級数だ.元の周期信号が,基本周波数の整数倍の周波数を持つ成分に分解される.それぞれの成分がどのくらい含まれているかを表しているのがフーリエ係数 , だ.ただし,各周波数について cos と sin の両方を考える必要がある. こんな風に周波数成分に分解されたものを「スペクトル」とか「周波数スペクトル」とか呼ぶことが多い.特に のみを考えると「振幅スペクトル」, のみを考えると位相スペクトルと呼ぶ. やる夫 なるほど,振幅スペクトルは偶対称で,位相スペクトルは奇対称なわけだお. やらない夫 ああ,ただしあくまでも が実関数の場合だということを忘れるな.あと,振幅の2乗,つまり のことをパワースペクトルと呼ぶ.これもよく出てくる概念なので覚えておくといい. やる夫 2乗しただけかお.別に振幅スペクトルだけでいいんじゃないかお? やらない夫 2乗したものが応用上重要になることもあるんだ.まあ当面は,そういう名前なんだと思っておけばいい..

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複素フーリエ級数について

複素 フーリエ 級数

ここからもう少しまとめることができます。 和の部分をまとめることができました。 求め方は簡単で 11 式の性質を使って、• わかりやすくするために 7 式の和の部分を展開します。 ・解析力学• ・流体力学• ・熱力学• ・量子統計• ・CAE解析(流体解析)• noteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を日々書いています。 また、「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。 youtubeではオープンソースの流体解析、構造解析、1DCAEの操作方法などを動画にしています。 Qiitaではプログラミング言語の基本的な内容をまとめています。 カテゴリー• 4 Twitter.

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